[영상 처리] 미분을 이용한 엣지(Edge) 검출

1차 미분을 이용한 엣지 검출

 

이런 엣지를 추출하는 다른 방법은 미분 연산을 이용하는 것입니다.

​

아래 그림은 영상의 밝기 변화와 미분 값 변화를 보여주는 그림입니다.

그림 (b)를 보면 명암의 변화를 보여주는데, 볼록 튀어나온 부분이 밝은 부분입니다.

그림 (c)는 영상의 명암 변화에 대한 그래프를 미분한 결과입니다. 튀어나온 부분이 엣지입니다.

​

이렇게 명암도 변화를 보여주는 그래프를 컷-뷰(Cut-View)라 합니다.

2차원 영상을 1차원으로 만든 그래프입니다.

​

​

미분을 할 때, 어느 방향으로 미분을 하는지에 따라 다릅니다.

​

미분을 하면 절대 값과 제곱근 중 편의성 위해 절대값이 주로 이용됩니다.

미분 결과 강조하면 블록 내의 최대, 최소 값의 차이를 에지로 합니다.

​

좌표 (x, y)에서 각 방향으로의 편미분 공식입니다.

디지털 데이터의 미분은 이웃 데이터와의 차이 값으로 표현되므로, 디지털 영상의 미분은 각 방향의 변화율을 나타냅니다. Hr은 행 검출기이고, Hc는 열 검출기입니다.

​

이 두 검출기를 합쳐서 영상의 전체 변화 분의 크기를 계산할 수 있습니다.

​

엣지 검출을 위한 1차 미분 연산을 영역처리 기법의 회선 처리로 수행하려면

행 검출기와 열 검출기를 회선 마스크로 생성합니다.

​

이 편미분 식에서 제시된 이웃 데이터와의 차이를 표현하는 회선 마스크를 얻을 수 있습니다.

이렇게 얻은 1차 미분 회선 마스크는 이동과 차분의 회선 마스크와 형태가 비슷합니다.

마스크의 크기가 클수록 상세한 엣지 검출이 어렵고, 작으면 잡음에 민감하며, 회선 마스크의 합은 0입니다.

---

1차 미분 회선 마스크 종류

1차 미분 회선 마스크의 종류는 다양합니다. 각각 회선 마스크는 고유한 특징이 있습니다.

게다가, 이 마스크는 행 검출 마스크와 열 검출 마스크를 각각 가지고 있으며, 서로 값이 대칭입니다.

​

​

1) 로버츠 마스크 (Roberts)

장점

- 크기가 작아 연산이 적으므로, 빠른 속도로 동작

- 주변과 관계없이 경계가 확실한 엣지 추출

​

단점

- 돌출된 값을 평균할 수 없음

- 잡음에 민감

​

​

2) 프리윗 마스크 (Prewitt)

장점

- 돌출된 값을 잘 평균화

​

단점

- 대각선보다 수평과 수직에 놓인 엣지에 민감 ( 값이 일렬로 나열되어 있기 때문 )

​

​

3) 소벨 마스크 (Sobel)

장점

- 돌출된 값을 잘 평균화

- 모든 방향의 엣지 검출 가능

- 잡음에 강함

​

단점

- 대각선 방향에 놓인 엣지에 민감

 

---

2차 미분을 이용한 엣지 검출

아래는 임의의 이산 함수 f(x)에서의 1차 미분과 2차 미분 결과입니다.

​

1차 미분을 이용한 엣지 검출은 엣지가 있는 영역을 지날 때 민감하게 반응한다는 단점이 있습니다.

2차 미분을 통해 1차 미분의 단점을 보완하기 위해 수행됩니다.

​

아래는 1차 미분과 2차 미분 검출기의 비교입니다.

​

밝기가 서서히 변하는 곳에서는 반응이 둔화되기 때문에, 엣지 중심만 표시하거나 아예 반응을 보이지 않습니다.

​

2차 미분을 사용하면 좋은 점과 나쁜 점이 무엇이 있을까요?

​

장점

- 검출된 엣지를 끊거나 하지 않고 연결된 폐곡선을 형성

​

단점

- 고립된 잡음에 민감

- 윤곽의 강도만 검출하며 방향은 구하지 못함

​

2차 미분 연산은 엣지 부분에서 부호가 바뀌는 영 교차(Zero Crossing)의 특성이 있습니다.

영 교차는 0을 지나는 것입니다. 즉, high에서 low로 가는데 중간에 붕뜬 구간을 말합니다.

이 구간이 변곡점에서 방향성을 갖고있다는 의미입니다.

 

---

2차 미분 엣지 검출기 - 라플라시안(Laplacian)

라플라시안 연산자는 대표적인 2차 미분 연산자입니다.

모든 방향의 엣지를 강조하며 다음 식을 얻을 수 있습니다.

​

1차 미분의 회선 마스크에는 행과 열 방향의 회선 마스크가 총 2개 있습니다.

하지만, 2차 미분의 라플라시안 회선 마스크에는 행과 열 방향이 합쳐져 1개만 있습니다.

아래는 라플라시안 회선 마스크 예시입니다. 총합이 0이네요. 게다가, b와 c는 반전 관계입니다.

---

컬러 영상에서의 엣지 검출

RGB 컬로 모델을 사용할 때에는 R, G, B 각각에서 검출을 위한 회선을 수행해야 합니다.

검출된 엣지를 다시 합해서 컬러 영상의 엣지를 얻는 방법입니다.

아래는 검출된 각 성분의 엣지를 합치는 공식입니다.

만약, HSI 컬러 모델을 사용하는 경우 RGB 컬로 모델을 HSI 컬로 모델로 변환합니다.

명도 값 I 에서만 회선을 적용한 뒤, RGB 컬로 모델로 변경하여 컬러 영상의 엣지를 얻습니다.